光学复习-II

衍射限制尺度、发散角、波长

$$\rho\cdot\Delta\theta\sim\lambda$$

$\rho\sim 10^3\lambda$以上，衍射效应不明显;

$\rho\sim 10^3--10\lambda$:衍射效应明显;

$\rho\le\lambda$:向散射过渡。

惠更斯-菲涅耳原理

$$\tilde{U}(P)=K\oiint\limits_{(\Sigma)}\tilde{U}_0(Q)f(\theta_0,\theta)\frac{e^{ikr}}{r}\mathrm{d}S\\ f(\theta_0,\theta)=\frac{\cos{\theta_0}+\cos{\theta}}{2}\\ K=\frac{-i}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}e^{-i\frac{\pi}{2}}$$

$\Sigma$不限于等相位面，可以是任何隔离光源和场点的闭合曲面。

巴比涅原理

互补屏的叠加实际上是积分区域的叠加。

复振幅相反，光强相等。

菲涅耳衍射与菲涅耳半波带法

圆孔衍射中心时亮时暗，圆屏衍射中心总是亮斑。

取一个球面波前,半径为$R$，以场点$P_0$为中心，以$b+\frac{k\lambda}{2}(k\in\mathbb{Z})$为半径把波前分割为环形带。

$$\tilde{U}(P_0)=\sum\Delta\tilde{U}_R=A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots$$

$$\frac{\mathrm{d}\Sigma_k}{r_k}=\frac{\pi\lambda R}{R+b}=const$$

$f(\theta_0,\theta)$的下降速度非常缓慢。

圆孔：$I_{max}(P_0)=4I_0$

圆屏：$I(P_0)\approx I_0$

菲涅耳波带片

只允许偶数/奇数的半波带透光，设有n个半波带。

$$U(P_0)=\sum\limits_{i=0}^{n/2}A_{2i}\approx\frac{n}{2}A_1=nA_0 \\ I(P_0)\approx n^2I_0$$

波带片半径公式：$\rho_k=\sqrt{k\frac{Rb\lambda}{R+b}}=\sqrt{k}\rho_1$

类似透镜公式：

主焦点：

次焦点：$b$改变引起$k$改变。

波带片焦距随波长增加而缩短，和玻璃相反，两者配合可以用于消除色差。

夫琅禾费单缝衍射

缝分成窄条，首尾两窄条的相位差为$\delta$,衍射角为$\delta$

$$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}a\sin{\theta}$$

$$A=A_0\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\qquad(\alpha=\frac{\delta}{2})\\ I=I_0\frac{\sin^2{\alpha}}{\alpha^2}$$

强度-衍射图样的特点

• 主极大：$\theta=0\quad I=I_0$
• 极小：$a\sin{\theta}=k\lambda$
• 次极大：$\alpha=\tan{\alpha}$
• 次极大强度：$4.7\% I_0$,$1.7\% I_0$,$0.8\% I_0$
• 半角宽度：
• 主极大的宽度是次极大角宽度的两倍
• 越限制，越展宽
• 长波长半角宽度大。短波长峰值大

斜入射

宗量变化：

夫琅禾费方孔衍射，圆孔衍射，仪器的分辨本领

方孔

$$\alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin{\theta_1}$$

$$\beta=\frac{\pi a}{\lambda}\sin{\theta_2}$$

$$I(p)=I_0\frac{\sin^2{\alpha}}{\alpha}\frac{\sin^2{\beta}}{\beta}$$

$$I_0=a^2b^2\frac{A^2}{\lambda^2f^2}$$

峰值零点半角宽度同单缝衍射。

圆孔

$$x=\frac{2\pi R\sin{\theta}}{\lambda}$$

$$I=I_0\left(\frac{2J_1(x)}{x} \right)^2$$

$$I_0=\frac{(\pi R^2)^2A^2}{\lambda^2f^2}$$

$$J_1(x)=\sum\limits_{K=0}^\infty(-1)^K\frac{1}{K!(1+K)!}(\frac{x}{2})^{2K+1}$$

x	$0$	$1.22\pi$	$1.64\pi$	$2.23\pi$	$2.68\pi$	$3.24\pi$
	$1$	$0$	$0.017$	$0$	$0.004$	$0$

$84\%$的能量聚集在零级衍射斑（艾里斑）中。

艾里斑半角宽度：$1.22\frac{\lambda}{D},D$为直径

仪器的分辨本领

单透镜=两个透镜+光阑

夫琅禾费衍射在一切使用透镜的光学系统中存在。

瑞利判据：$\delta\theta=\Delta\theta_0$

多缝衍射与光栅

$$\alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin{\theta}\qquad\beta=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi d}{\lambda}\sin{\theta}$$

$$I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin{\alpha}}{\alpha} \right)^2\left(\frac{\sin{N\beta}}{\sin{\beta}} \right)^2$$

两个主峰间有$N-1$个零点，$N-2$个次极大值。次极强非常弱，衍射条纹为细锐的离散条纹。

• 极大值位置：$\beta=k\pi\qquad d\sin{\theta_k}=k\lambda$
• 缺极：干涉极大和衍射极小重合。$d$和$a$成简单整数比。
• 半角宽度：$\frac{\lambda}{Nd}$ ,干涉条纹的
• $N$变大，光的能量向主极大集中，单缝$N^2$倍，亮条纹更加细而亮。
• 量程问题：

光谱光栅仪

• 角分辨率：
• 线色散率：
• 色分辨率：
• 自由光谱范围：第$k$极和第$k+1$极的光谱不重合的测量范围。

闪耀光栅

透射光栅的缺点：零极无色散，衍射光强分配到正负各能极。观察的那一级光谱只能分到极少的能量。

闪耀光栅的构造：反射式避免光栅吸收能量，把衍射和干涉零极错开。

实际使用时主要采用沿N方向入射。

沿N方向入射

零极衍射角：$\theta=2\theta_b$

$$\alpha=\frac{\pi a}{\lambda}(\sin{(\theta-\theta_b)}-\sin{\theta_b})$$

$$\beta=\frac{\pi d}{\lambda}\sin{\theta}$$

如果
则干涉一级主极大和衍射零极主极大重合。

由于$a\approx d$除一级主峰外，其他极都缺极，闪耀光栅只有一列光谱。

k极闪耀波长：

沿n方向入射

槽间光程差：$\Delta L=2d\sin{\theta_b}$

X射线衍射

性质

产生方式：

• 高能电子打到靶上，电子受原子核电场作用减速，光谱连续
• 高能电子激发原子内层电子，光谱不连续

波长 $10^{-11}-10^{-8}m$ ,穿透力强。

布喇格公式

$$2d\sin{\theta}=k\lambda$$

$\theta$为掠入射角（入射光线和晶面的夹角）

劳厄法看劳厄斑，德拜法看由亮环组成的德拜图。

全息术

波前的记录与再现。

记录：干涉

再现：衍射

光的偏振

圆偏振光：随时间统计矢量端点轨迹为圆

椭圆偏振光：随时间统计矢量端点轨迹为椭圆

迎着光线看，光矢量顺时针旋转为右旋。

起偏器和检偏器

马吕斯定律（只适用于线偏振光）：

双折射

o光：遵从折射定律

e光：一般不遵从折射定律

光轴：某一方向不发生双折射

主截面：光轴和入射点法线组成的平面

主平面：光轴和光的传播方向构成的平面

o光的振动方向垂直于主平面，e光平行

入射面和主截面不一致时，e光折射光可能不在入射面内

主折射率：o光折射率为$n_o$，e光垂直光轴折射率为$n_e$

双折射率：$n_e-n_o$

正晶体：$n_e-n_o>0$，如石英（右图）

负晶体：$n_e-n_o<0$，如方解石（左图）

偏振棱镜

尼科耳棱镜：e光射出，o光全反射

格兰-汤姆森棱镜：尼科耳棱镜的改进型

洛匈棱镜、沃拉斯棱镜：分离两种光

波片

光轴平行于表面，o光和e光有附加相位差

$\delta>0$，o光速度慢，相位落后

• $\lambda$片：不改变偏振状态
• 片：线偏振偏振方向关于光轴轴对称。圆偏振旋转方向反向
• 片：圆偏振和线偏振相互转换（椭圆偏振主轴要和光轴平行）

区分五种偏振态：偏振片导致的光强变化和消光位置+片的转换

晶体补偿器：获得固定相位差

偏振光的干涉

两个垂直的偏振片相当于增加$\pi$的相位差

光弹测量

介质双折射率和应力成正比

电光效应

克尔效应：各向同性介质在外电场的作用下变为各向异性，产生双折射。

泡克斯效应：各向异性介质改变双折射率。

克尔效应

$$\Delta \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}lbE^2=2\pi KlE^2$$

$K$为克尔常数。

应用:高速光电开关，电光调制器

缺点：所用液体常有剧毒，易爆炸

泡克斯效应

$$\Delta \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}n_0^3\gamma El$$

旋光效应

转过的角度：

$$\varphi=\alpha d$$

$\alpha$为旋光率

法拉第光隔离器

两偏振片45度角摆放，中间的法拉第旋转器使光旋转45度，则一个方向光束通过，另一个到达第二个偏振片时偏振方向和偏振片方向垂直。

光的吸收

线性吸收规律

$$\mathrm{d}I=-\alpha I\mathrm{d}x$$

$\alpha$为吸收系数

线性介质,光强不太强时$\alpha$与光强无关。

• 比尔定律：溶液中$\alpha$和浓度成正比。当溶液浓度大到分子间相互作用影响分子吸收本领后偏离比尔定律。

普遍吸收和选择吸收

• 普遍吸收：吸收后所有成分的光强改变。
• 选择吸收：只强烈吸收某些波长的光。

原子吸收光谱

大气窗口：水，二氧化碳 光学通信常用波段1.55微米

复折射率

实部：折射率$n$决定介质中光速。

虚部：吸收系数$\alpha$决定介质中光强的衰减。

$$\tilde{E}(x,t)=A_0e^{(ik-\frac{\alpha}{2})x}e^{-i\omega t}=A_0e^{i\tilde{k}x}e^{-i\omega t}$$

$$\tilde{k}=k+i\frac{\alpha}{2}=\frac{\omega}{c}\tilde{n}$$

$$\tilde{n}=n+i\frac{c\alpha}{2\omega}=n(1+i\kappa)$$

光的色散

正常色散

对光波透明的介质，折射率随波长增加减小，色散率

柯西公式：$n=A+\frac{B}{\lambda^2}+\frac{C}{\lambda^4}$

波长范围不太大时只需要取前两项。

反常色散

在介质对光有强烈吸收的波段内，折射率随波长的增加而增大，色散率

全域色散曲线

• 存在一系列吸收带
• 两相邻吸收带之间，$n$随$\lambda$的增加单调变小
• 每经过一个吸收带，$n$显著增大。曲线总趋势随$\lambda$上升而抬高
• $\lambda=0,n=1$
• 极短波$n<1$